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問題１．の答え
ｃ．
およそ５㎞
（解説）
地球の半径をｒ、視点の高さをｈ、水平線までの距離をｘとすると、
三平方の定理から、
ｘ 2
＝ （ｒ＋ｈ）2
－ ｒ2
＝
ｒ2
＋ ２ｒｈ
＋ ｈ2 － ｒ2
＝
２ｒｈ
＋ ｈ2
ｘ ＝ √（２ｒｈ
＋ ｈ2）
いま、地球の半径を約６４００㎞と考え、
視点の高さを約１．５m（0.0015㎞）とすると、
求める水平線までの距離ｘは、
ｘ
＝ √（２×６４００×0.0015）
＝ √１９．２
＝ ４．３８１７８……
水平線までの距離は、およそ４．５㎞ということになるので、
答えは「ｃ．
およそ４．５㎞」ということになります。
もし、１０００mの山頂から水平線を眺めたとすると、
ｘ
＝ √（２×６４００×１）
＝ √１２８００
＝ １１３．１３７……
となって、およそ１１０㎞先まで見えることになります。
つまり、視点の高さによって見える水平線までの距離は変わるわけです。
問題２．の答え
ｆ．大人がちょっとかがめば抜けられるくらいのすき間
（解説）
地球の半径をｒとすると、赤道の長さ（地球の周の長さ）は
２πｒですから、これを１０m長くすると、
２πｒ＋１０
（m）
ここで、すきまの高さをｈとすると、
２πｒ＋１０
（m）
＝ ２π（ｒ＋ｈ）
＝
２πｒ＋２πｈ
２πｈ＝１０
（m）
ｈ＝１０/２π
＝ ５/π
＝ １．５９…
（m）
つまり、すき間の高さは約１．６mとなります。
とすれば、大人が少し身をかがめれば抜けられるすき間（高さ）
ということになります。
ここで注目されることは、ｈ＝１０/２πとなるので、半径の大きさは
無関係になる、ということです。
高校講座で講師の先生が言っておられたように、それが地球でなく
ピンポン球であっても、
鉢巻きを１０m長くすると、すき間は約１．６mできる、
ということになるわけです。
４万メートルの長さの鉢巻きを、わずか10メートル長くしただけで、
約１．６メートルものすき間ができるとは、ちょっと意外ですね。
なお、「数学小話」というページがあり、そこに「地球の鉢巻き」という
項目があって、同じ問題を取り上げています。そこでは、鉢巻の長さを
１メートルだけ長くしたら、どのくらいのすき間ができるだろうか、と尋
ねています。 (この「数学小話」のページが消えてしまいましたので、リンクを
外しました。2019年9月14日)
問題３．の答え
（１） １３
（解説）
数の並び方は、それぞれ前の数字を二つ足した大きさになっています。
したがって、空所には、５＋８＝１３ が入ることになります。そして、この次
は８＋１３＝２１ が来ることになります。
（２） フィボナッチ数列
（解説）
このような数字の並びを、「フィボナッチ数列」といいます。
それは、イタリアの数学者フィボナッチが発見したことによるからです。
フィボナッチの著書『算盤の書』（１２０２年）の中に、次のような兎の問題
があるそうです。
問題：ここに１つがいの兎がいる。兎は、１か月経つと１つがいのこどもを
産む。生まれた兎は、２か月後に１つがいのこどもを産む。こうして兎
が次々にこどもを産んでいくと、１年の間に何つがいの兎になるか。
この問題から、フィボナッチ数列という名が生まれたのだそうです。
この兎の問題の答えと詳しい解説は、『私的数学塾』というサイトの
「フィボナッチ数を極める」というページを参照してください。
この『私的数学塾』というサイトには、興味深い数学の話題その他がたくさん
取り上げてありますので、ぜひご覧下さい。
このフィボナッチ数列は、自然界のいろいろなところ、例えば、木の枝分かれ
の数や、ひまわりの種の配列などに見られるそうです。
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