《問題の解答》

問題　次の文の空所に、「必要」「十分」「必要十分」のいずれかを入れなさい。

　１．哺乳類であることは、犬であるための（ 必要 ）条件である。
　２．４つの角が直角であることは、四辺形が長方形であるための（ 必要十分 ）
　　条件である。
　３．日本人であることは、人間であるための（ 十分 ）条件である。
　４．長方形であることは、正方形であるための（ 必要 ）条件である。
　５．X＝１であることは、Xの２乗が１であるための（ 十分 ）条件である。
　６．自然数 n が偶数であることは、n が４の倍数であるための（ 必要 ）条件
　　である。


  出題者から：
　　皆さんはきっと、この問題を、高校１年生の時に習ったでしょう。
　　それが今でも全部すらすらできたとしたら、たいしたものです。
　　できなかった人は、それが普通です。決してがっかりする必要はありません。
　　でも、できなかった場合は、なぜできなかったのかを、考えてみることをお勧
　　めします。そこには、おもしろい何かが潜んでいそうに思われますから。

　　念のため、必要条件・十分条件・必要十分条件の一応の説明を書いておきます。

　　今、
　　　   P ならば Q である。
　　が成り立つとき、P は Q であるための十分条件、Q は P であるための必要条件
　　である、と言います。
　　そして、P ならば Q で、かつ、Q ならば P であるとき、P を Q の必要十分条件
　　であると言います。このとき、Q も P の必要十分条件です。
　　つまり、P と Q とが必要十分条件であるとき、P と Q とは論理的には全く同じ
　　ことで、P と Q とは同値である、と言います。

　　こうなると、なんだかもやもやして来ますね。具体的な例に当てはめて考えてみま
　　しょう。

　　高校時代には、きっと矢印を使って、《「P ならば Q である」を、「P → Q」と表
　　　して、矢印の先が「必要条件」、矢印の反対側が「十分条件」だ》と教えられたと
　　思います。

　　例を挙げてみましょう。

　　　　犬ならば哺乳類である。

　　という文の場合、「犬 → 哺乳類」となりますから、「犬」は「哺乳類」であるた
　　めの十分条件、「哺乳類」は「犬」であるための必要条件、というわけです。
　　（犬は全部哺乳類ですが、哺乳類なら犬だ、とはいえませんから、「犬 ← 哺乳類」
　　とはなりません。）

　　　　哺乳類であることは、犬であるための（　　）条件である。

　　という問題の場合、「哺乳類である」←「犬である」となりますから、「哺乳類で
　　ある」ことは、「犬である」ための「必要条件」である、というふうに答えればい
　　いのだ、ということになります。

    次の例を考えてみましょう。

　　　 n ＝±１ であることは、n の２乗 ＝１ であるための（　　）条件である。

　　という問題の場合、「n ＝±１」 であれば、必ず「n の２乗 ＝１」である（「n
　　＝±１」→「n の２乗 ＝１」）し、「n の２乗 ＝１」であれば、必ず「n ＝±１」
　　でもある（「n ＝±１」←「n の２乗 ＝１」）ので、

　　　 n ＝±１ であることは、n の２乗 ＝１ であるための（必要十分）条件である。

　　ということになります。つまり、矢印を使うと、「n ＝±１」⇔「n の２乗 ＝１」と
　　いうことです。

　　それにしても、何となくもやもやした感じが残るのは、なぜなのでしょうか。矢印で
　　解答することを覚えていた人は、簡単に答えたでしょうが、これを文として読んで、
　　論理的に考えて答えようとした人は、恐らくまごついたのではないでしょうか。

　　ここに取り上げた６題の問題を、もしうまく解けない人がいるとしたら（戸惑う人が
　　多い、と私は想像するのですが）、それはなぜなのでしょうか。日本語の文なのに、
　　それも大して複雑な内容の文でもないのに、戸惑う人が多いのは、実に妙なことだ、
　　と私は常々思っているものですから、ここにこの問題を取り上げてみたのです。

　　必要条件、十分条件、必要十分条件についての問題のご感想は、いかがですか。


　　　※　『関西学院大学』のホームページに『放課後の数学入門』があり、そこに「数学A」のページ
　　　　　　があって、その中に「§１数と式　10 必要条件と十分条件（１） 11 必要条件と十分条件（２）」
　　　　　　があります。興味のある方はどうぞご覧ください。
 

 　　（おまけ）　数学をやった友人が、それでは次の問題はどうか、と言ってきました。
　
　　　　　　　　　　Ｘ の２乗 ＞ １　は、Ｘ ＞ ０ であるための何条件か。

　　　　　　こんな問題を出されると、頭が混乱してしまって、　「Ｘ の２乗 が １よりも大きい」ことが
　　　　　「Ｘ が正である」ための……、何だって？と、何が何だか分からなくなってしまいます。


　　　　　　しかし、これは数学の問題だから、できなくてもいい（？）のですが、日本語で書かれて
　　　　　いる普通の日本の文章を読んで、なおかつ、「必要条件」「十分条件」が分からない、判
　　　　　断できないとしたら、ちょっと何かがおかしくないかな、と思うので、こんなことを取り上げ
　　　　　て書いてみたという次第です。

　　　　　　因みに、上の問題の答えは、『「必要条件」でも「十分条件」でも「必要十分条件」でも
　　　　　ない。つまり、何条件でもない。』だそうです。
　　　　　　「Ｘ の２乗 ＞ １ であるならば、Ｘ ＞ ０である」「Ｘ ＞ ０であるならば、Ｘ の２乗 ＞ １
　　　　　である」という命題が、ともに偽（ぎ）であるから、「必要条件」「十分条件」は関係ない、
　　　　　問題にならない、ということのようです。意地が悪い！

　　　　　　

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